过同一个点的线段太阳集团游戏2138

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文章关键词:太阳集团游戏2138,等距投影

  地球表面有海洋、平原、丘陵、高山等起伏形态,是一个不规则曲面。但即使珠峰高达8844m,马里亚纳海沟深达11022m,和6000km的地球半径相比也只是算微小的起伏,就整体表面而言,可以认为地球是一个由水面包围的

  但由于所受自转的离心力影响,其实整体来看,地球是一个赤道较突出,而两极较为扁平的椭球体。

  研究地图和测量的怪大叔为了点位确定和方便建立坐标系,又鼓捣出大地水准面,即静止海水面向大陆延伸所形成的不规则的封闭曲面。它是重力等位面,物体沿该面运动时,重力不做功(比如水在这个面上是不会流动的)。

  大地水准面,由它包围的形体我们就称之为大地球体,它的形状很接近于一个由扁率很小的椭圆绕其短轴旋转而形成的旋转椭球体。

  旋转椭球体表面是个纯数学面,可以用数学公式表达,这个旋转椭球面就是地球椭球。接下来所说的地图投影的拟定计算和变形就是以地球椭球面为依据。

  在过去2000多年的地图投影发展历程中,人们根据各种地图的要求设计了数百种地图投影。地图投影种类虽然多,但一般是按两种方法分类:

  题主所说的等角、等面积、等距投影就是按照地图投影的变形性质分类。其实这种分类会在地图上产生很多有趣的现象,后面会一一细说。

  在投影面上任何位置两个方向线的夹角和地球椭球面上相应的方向线夹角相等,也就是元素投影到地球椭球面是没有角度变形的。

  这种类型由于投影后的地图能不改变原有的角度,所以就极其适合用来作为导航地图,比如用来编制洋流图、航海图和风向图等。

  比如上面的航空图,早些时候为了导航方便,一个罗盘游全球,就采用等角航线(Rhumb line),航迹在等角投影地图上就是一条直线。

  但我们知道球面上两点间最短距离是通过两点间大圆的劣弧。所以在航海或航空中,运用此特性而走最短距离的航线叫做大圆航线(Great Circle Route)。但在等角投影的地图上大圆航线看起来反而比等角航线长。

  市面上买的世界地图采用的就是等角投影,确切的说是我国出版的世界地图采用的是等差分纬线多圆锥投影(也属于等角投影),可以很好表现我国形状以及与四邻的对比关系,太阳集团游戏2138但投影的边缘地区变形较大。

  等角投影缺点很明显,就是面积变形较大。尤其是越靠近两极,面积就拉伸的越大。

  所以我们在地图上看起来俄罗斯很大,非洲面积看起来很小,其实都是由于投影变形给我们带来的错觉。

  俄罗斯的面积大约为1709.82万平方公里,非洲的总面积为3022.1532万平方公里。

  在这里介绍给大家一个 基于Mercator projection的地图拼图游戏,大家可以从中体会下地图拉伸的感觉。

  投影面上有限面积的图形和地球椭球面上的相应的图形面积相等,即面积变形为零。

  由于该类投影没有面积变形,很方便在图上进行面积量算和对比,所以常常用来编制对面积精度要求高的社会经济图和自然地图,比如土壤图、地质图和行政规划图等。

  是不是看着怪别扭的,确实,这个投影图中各大陆比例基本正确,面积是对的,但是扭曲了地形,水平面上,两极扭曲,垂直面上,赤道附近产生了扭曲。比如非洲的面积是正确的,但变得特别狭长。也就是这种投影保证面积不变,却使角度发生很大变化。

  既不是等角也不是等积的投影都属于任意投影,任意投影存在着角度、面积和长度变形。在任意投影中有一种很常见的投影叫做等距投影。

  等距投影常常用于对投影变形要求适中或者区域面积较大的地图,比如科学参考图、教学地图和世界地图等。

  联合国标志的中心即是突出北极中心地位的等距方位投影世界地图,它打破传统认知中“上北下南,左西右东”的方位格局,呈现各大洲围绕北极的集中状态。

  其实要想在一个平面上反映真实的球型世界几乎是不可能的,运用任何数学方法进行这种转换都会产生误差和变形:一些地方需要拉伸,另一些地方必然相应的需要收缩。

  按照投影的构成方法进行分类。可以分为方位投影、圆柱投影、圆锥投影、伪方位投影、伪圆柱投影、伪圆锥投影、多圆锥投影等。

  比如中国疆域辽阔,纬度跨度很大(有50°的纬差),在我国的8种国家基本比例尺地形图中,除了1:100万地形图采用正轴等角割圆锥投影外,其余都采用这个大名鼎鼎的高斯-克吕格投影。

  而高斯-克吕格投影是就一种横轴等角切椭圆柱投影,它在各个领域的用途很广,感兴趣可以私信交流,在此我就不赘述了。

  需要说明的是,地图的编制受很多因素的影响比如各国的历史、政治、军事不同会绘制不同适用性地图。但是,仅在技术方面而言,平面投影地图总是会发生变形。

  说白了,投影就是将地球表面的坐标网表示在平面上,那么这个用二维展绘三维的方法必定会有许多问题。一个很常举的例子就是把橘子剥皮展开铺在桌子上,那么橘子皮必然会有褶皱或裂隙 ,同样的地球表面展开的话,就一定会产生变形。

  传统的投影是用光学透视的方法获得的,这样的投影简单易得,但球面与平面的数学关系不容易得到,所以现代地图投影都会采用数学方法进行。

  传统上的光学透视其实就是在玻璃地球的某个位置放个小灯,灯光在纸上投下的影子就成了一幅地图(也许这就是投影的最初含义了)。比如我把灯放在球心,就得到球心投影。

  但是这用小灯泡画图的话,只能得到地图,有没有方法可以不用通过灯就能把地图做出来同时又能得到球面与平面的数学关系呢?

  后来的地图投影就开始用数学方法来投影了。之前的光学透视的投影我们运用光学原理的知识,应该是能算出平面与球面的数学关系的。

  地图上的坐标就是平面坐标,我们一般用数学常用的直角坐标和极坐标就好了,不过要注意哦,地理的坐标系和数学的有点不一样,x轴指向的是北边的,也就是说竖起来的那条轴才是x轴。

  我们用一个椭球(我们叫他大地椭球体)来近似代替地球吧,至于这个椭球是怎么来的,大家可以参考一下@凃小图的答案。

  在这个椭球面上,我们建立了一个地理坐标系,地理坐标系其实也分成天文经纬度、大地经纬度、地心经纬度。天文经纬度可以用于大地测量中定向控制及校核数据,而在地图投影中用的一般是大地经纬度和地心经纬度。

  地心经度等同于大地经度,地心纬度是指参考椭球体面上的任意一点和椭球体中心连线与赤道面之间的夹角。

  这经纬度的定义似乎很复杂,嗯,确实很复杂,怎么说的通俗点呢?不如我们不要看这个定义,我们只要知道通过经纬度就能确定这个椭球面上的点就好了。

  当然有时候地理研究和小比例尺地图制图对精度要求不高,故常把椭球体当作正球体看待,此时,地理坐标采用地球球面坐标,经纬度均用地心经纬度。

  在保持图形完整性前提下,将(椭)球面转化为平面,投影后得到的经纬线网形状必然会产生变形,也就是说,在投影的过程中,变形是必然存在的。

  投影变形使地物的几何特性发生了变化,变形一般包括长度、面积、方向(角度)变形。

  为了直观地体验或描述变形,我们造了个变形椭圆,我们在球上画一个小圆圈,这个小圈圈投影到平面上就会变成一个椭圆了,直观地表现了投影变形,看看这些图咯:

  但我们要用数字来表示变形啊,这样才能知道具体怎么变形,才能知道是不是等角,不然你看着一个个小圈圈怎么知道它有没有变形啊。

  长度比用来描述长度变形,一个微分线段ds,投影在平面上变成了ds,那么长度比其实就是ds与ds的比:

  不过呢,这个表示出来的并不是变形,表示变形的话,应该用变形的长度比上原长度。

  然而这还不够,不同方向的线段变形不一样啊,我们一般只看四个方向的长度比。过同一个点的线段,有的方向的变形大,有的方向变形小,变形最大的叫极大长度比a,最小的就叫极小长度比b,这两个方向其实就是变形椭圆的长半径和短半径方向。我们称这两个方向为主方向。有时候主方向就是经纬度方向(m,n),当然有时候不是。

  6、怎么控制地图变形。对于一些几何投影,比如方位投影、圆柱投影等,他们是有自己的投影公式的。比如利用已知条件和光学透视我们可以知道正轴圆柱投影都满足以下通式。

  这样,如果我们限定变形条件比如使得m=n(等角条件),把mn代入就有一条方程了,积分一下就可以算得投影公式。

  到后来的伪投影、派生投影也都是通过量化变形来得到投影公式从而达到控制变形。

  2、后来人们开始通过数学计算变换坐标系的方式来进行抽象的投影,不再是拿着小灯泡照来照去了。

  3、地图投影必定会产生变形,我们用长度比、面积比和角度变形来表示这些变形,从而分析投影变形。

  4、反过来如果我们要控制变形得到按条件的投影,我们就用对应的变形条件,太阳集团游戏2138通过数学推导到处对应的变换公式。

  因为平面的海图,配之以经纬度,横平竖直,有利于利用测量仪器快速读取位置,辨别方位。

  在这里不得不说一下对此作出巨大贡献的欧拉、高斯与欧拉。欧拉在1771年得到了可展曲面的一个充分必要条件。1775年,蒙日给出了可展曲面的另外三种条件。从而奠定了近代微分几何()的基础。蒙日有一位大名鼎鼎的学生——拿破仑。他给予了蒙日极大的重用。蒙日在后来也表现出了对拿破仑的极大忠诚,这也导致了在破旁王朝复辟后,蒙日的不幸——被剥夺了一切教职和荣誉,不久病逝。看看后续,有机会针对他的影响和传奇经历,占个坑,写点东西。

  3.关于墨卡托的投影,想再啰嗦两句。这里借用@罗玥贴中的截图,如有侵权,求删。

  同理可以说明,北半球中高纬度的国土都存在这样的问题,美国、加拿大以及格陵兰岛都被“放大”了。悬挂一张墨卡托投影的地图可以不费吹灰之力地用科学手段彰显国力,所以这个投影方式被北半球大国门沿用,不论是彰显国力亦或是放大威胁:

  墨卡托投影的等角性质,使得在投影的地图上,经线投影成一组平行线,两地之间的等方位角曲线,在地图上实际是一条直线。船舰只需要保持方位角不变,不改变航线即可达到终点。所以在航海中广泛应用。但是这条航线并不是两地之间的最短航线。如下图所示:

  其中绿线是两地之间的直线距离(球面上无法达到,因为要穿越地下),红色是等角航线,蓝色是大圆航线。根据球面上的性质,蓝色线路径距离最短。实际球面上的等角航线其实为以极点为渐进点的一条螺旋曲线(如下图)。打个比方说,如果某天清晨太阳在地表的位置是赤道,我们看到太阳的方向是正东,如果我们沿着正东一直航行,结果是到不了赤道的。

  但是若沿着蓝路径航行,即所谓大圆航线,需要不断修正航路,技术上难度大。所以会将蓝色路径分成若干段,每段上采用等角航线来航行。

  总结:1.乱用符号表述使数学原理更难以理解。几百年来,无数数学家努力使数学表述使用规范化,可是现在,很多文献材料,用符号还是很随意。。。。。。

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